题目

编写一个高效的算法来搜索 _m_ x _n_ 矩阵 matrix 中的一个目标值 target 。该矩阵具有以下特性：

• 每行的元素从左到右升序排列。
• 每列的元素从上到下升序排列。

示例 1：

输入： matrix = [[1,4,7,11,15],[2,5,8,12,19],[3,6,9,16,22],[10,13,14,17,24],[18,21,23,26,30]], target = 5 输出： true

示例 2：

输入： matrix = [[1,4,7,11,15],[2,5,8,12,19],[3,6,9,16,22],[10,13,14,17,24],[18,21,23,26,30]], target = 20 输出： false

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题解

暴力

核心思想

如果我们不管二维矩阵matrix的特性，我们可以直接遍历判断是否存在等于target的数。

代码

class Solution {
public:
    bool searchMatrix(vector<vector<int>>& matrix, int target) {
        int n = matrix.size();
        int m = matrix[0].size();
        for(int i = 0; i < n; i++) {
            for(int j = 0; j < m; j++) {
                if(matrix[i][j] == target) return true;
            }
        }
        return false;
    }
};

时间复杂度：$O(n \cdot m)$，n 行 m 列，全部遍历。 空间复杂度：$O(1)$

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二分查找

核心思想

因为matrix的每一行都是升序的，因此我们可以二分查找每一行，判断该行是否出现target。

代码

class Solution {
public:
    bool searchMatrix(vector<vector<int>>& matrix, int target) {
        if(matrix.empty() || matrix[0].empty()) return false;
        int n = matrix.size();
        for(int i = 0; i < n; i++) {
            auto &row = matrix[i];
            int l = 0, r = row.size() - 1;
            while(l < r) {
                int mid = (l + r) / 2;
                if(row[mid] < target) l = mid + 1;
                else r = mid;
            }
            if(row[l] == target) return true;
        }
        return false;
    }
};

时间复杂度：$O(n\log m)$，最多需要进行 n 次二分查找。 空间复杂度：$O(1)$

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Z 字形查找（右上角 / 左下角起点）

核心思想

• 选右上角作为起点：(i=0, j=n‑1)
  • matrix[i][j] == target：找到，返回 true
  • matrix[i][j] > target：目标一定不在当前这一列 → j‑‑（向左）
  • matrix[i][j] < target：目标一定不在当前这一行 → i++（向下）
• 越界说明不存在，返回 false

为什么不选左上角？左上角向右、向下都变大，无法判断走哪边，不能直接排除行 / 列

代码

class Solution {
public:
    bool searchMatrix(vector<vector<int>>& matrix, int target) {
        if(matrix.empty() || matrix[0].empty()) return false;
        int n = matrix.size();
        int m = matrix[0].size();
        int i = 0, j = m - 1;
        while(i < n && j >= 0) {
            if(matrix[i][j] == target) return true;
            else if(matrix[i][j] > target) j--;
            else i++;
        }
        return false;
    }
};

时间复杂度：$O(m+n)$，每轮消去一行或者一列，最多走 m+n 步 空间复杂度：$O(1)$，原地遍历

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三种算法对比

算法	时间复杂度	空间复杂度	核心思想	优点	缺点	适用场景
暴力双重循环	O(n⋅m)	O(1)	遍历矩阵全部元素	代码最简单，不会出错	完全没利用有序性质，大数据会超时	矩阵很小、面试仅作为暴力铺垫
逐行二分	O(nlogm)	O(1)	每行内部有序，每行做二分	利用行有序，比暴力快	没有利用列有序，性能弱于 Z 字形	行数很少，列数很大
Z 字形查找	O(n+m)	O(1)	从右上角出发，一次排除一整行 / 一整列	同时利用行、列有序，时间最优	思维需要转换，不能选左上角起点	通用，本题标准最优解

240. 搜索二维矩阵 II - 力扣（LeetCode）